BLOG ALA KADARNYA

SOLUSI SOAL ULANGAN SEMESTER GANJIL KELAS 11

Terimakasih telah membuka blog ini.
Solusi soal
1. Buktikan bahwa determinan matriks $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ merupakan lawan dari determinan matriks $\begin{vmatrix} c & d \\ a & b \end{vmatrix}$
BUKTI
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =ad - bc$

$\begin{vmatrix} c & d \\ a & b \end{vmatrix} =bc - ad$
$= -ad + bc$

   $= -(ad - bc)$

Terbukti determinan $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ lawan dari $\begin{vmatrix} c & d \\ a & b \end{vmatrix}$ .

2. Diketahui matriks $P =\begin{pmatrix} a & a+1 \\ a+2 & a+3 \end{pmatrix}$ , tunjukan bahwa untuk setiap a bilangan bulat maka determinannya selalu - 2.
BUKTI
det P = a(a + 3) - (a + 1)(a + 2)
= $a^{2}+3a-(a^{2}+2a+a+2)$
= $a^{2}+3a-(a^{2}+3a+2)$
= $a^{2}+3a-a^{2}-3a-2$
det P = - 2
Terbukti!!

3. Dengan menggunakan matriks, tunjukan bahwa penyelesaian dari persamaan $\begin{Bmatrix} 2x+y=7 \\ x+4y=14 \end{matrix}$ adalah x = 2 dan y = 3.
Dengan menggunakan determinan matriks

$\begin{Bmatrix} 2x+y=7 \\ x+4y=14 \end{matrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix}$

$D=\begin{vmatrix} 2&1 \\ 1&4 \end{vmatrix} =2.4-1.1=7$

$D_{x}=\begin{vmatrix} 7&1 \\ 14&4 \end{vmatrix} =7.4-14.1=14$
$D_{y}=\begin{vmatrix} 2&7 \\ 1&14 \end{vmatrix} =2.14-1.7=21$

$x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{14}{7}=2$

$y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{21}{7}=3$
Terbukti, x = 2 dan y = 3.

4. Diketahui fungsi $f(x)=\frac{x}{x-4}$ dan $g(x)=\frac{4x}{x-1}$ . Tunjukan bahwa f(x) dan g(x) merupakan saling invers.

BUKTI
Kita anggap $f^{-1}(x)=g(x)=\frac{4x}{x-1}$ , maka kita tinggal membuktikan bahwa $(fof^{-1})(x)=(f^{-1}of)(x)=x$

$(fof^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))$

$(fof^{-1})(x)=f(\frac{4x}{x-1})$
   $=\frac{\frac{4x}{x-1}}{\frac{4x}{x-1}-4}$
   $=\frac{\frac{4x}{x-1}}{\frac{4x}{x-1}-\frac{4(x-1)}{x-1}}$
$=\frac{\frac{4x}{x-1}}{\frac{4}{x-1}}$
   $=\frac{4x}{x-1}\times {\frac{x-1}{4}}$
= x

$(f^{-1}of)(x)=f^{-1}(f(x))$
   $=f^{-1}(\frac{x}{x-4})$
   $=\frac{4(\frac{x}{x-4})}{\frac{x}{x-4}-1}$
   $=\frac{4(\frac{x}{x-4})}{\frac{x}{x-4}-\frac{x-4}{x-4}}$
$=\frac{\frac{4x}{x-4}}{\frac{4}{x-4}}$
$=\frac{4x}{x-4}\times {\frac{x-4}{4}}$
=x

Terbukti!

5. 5. Seorang perangkai bunga memiliki persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 20 tangkai. Perangkai bunga tersebut membuat rangkaian love dan rangkaian hart. Rangkayan bunga love memerlukan 2 tangkai bunga mawar dan 1 tangkai bunga anyelir, sedangkan rangkaian hart memerlukan 1 tangkai bunga mawar dan 3 tangkai bunga anyelir. Jika rangkaian love dijual dengan harga Rp100.000,- dan rangkaian hart dijual dengan harga Rp150.000,- misalkan rangkayan love adalah x dan rangkayan hart adalah y maka tunjukan bahwa:
a. Pertidaksamaan linier dua variabel dari masalah di atas adalah $\begin{Bmatrix} 2x+y\leqslant 20 \\ x+3y\leqslant 20 \end{matrix}$
b. Pendapatan maksimum yang diperoleh perangkai bunga adalah Rp1.400.000,-

CARA MUDAH MENYELESAIKAN LIMIT DENGAN L'HOPITAL

Cara mudah menyelesaikan limit selain dengan menggunakan pemfaktoran atau perkalian sekawan adalah dengan menggunakan aturan L'Hopital, bagaimanakah aturan L'Hopital tersebut? sebelum mempelajari limit L'Hopital disarankan mempelajari turunan terlebih dahulu, kami anggap Anda telah mahir dalam turunan, baiklah kita pelajari aturan L'Hopital sebagai berikut:

Teorema L'Hopital (hanya berlaku untuk limit bentuk 0/0)

Andaikan $\lim_{x \to c}f(x)=0$ dan $\lim_{x \to c}g(x)=0$ , apabila $\lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ maka nilai $\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$

Contoh penggunaan pada limit aljabar:
1. Nilai dari $\lim_{x \to 2}\frac{x^2+3x-10}{x-2}=....$
Ingat, pastikan jika x = 2 dimasukan ke persamaan hasilnya 0/0
Kita turunkan pembilang dan penyebut, diperoleh:
$\lim_{x \to 2}\frac{x^2+3x-10}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{2x+3}{1}$
Selanjutnya kita ganti x dengan 2, sehingga diperoleh:
$\frac{2(2)+3}{1}=7$
Jadi nilai dari $\lim_{x \to 2}\frac{x^2+3x-10}{x-2}=7$

2. Nilai dari $\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x^2+5}}{x-2}=....$
Ingat, pastikan jika x = 2 dimasukan ke persamaan hasilnya 0/0
Turunkan pembilang dan penyebut, untuk mengetahui aturan turunan bentuk ini, silakan klik di sini
$\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x^2+5}}{x-2}= \lim_{x \to 2}\frac{-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}}{1}$
Selanjutnya kita ganti x = 2, sehingga diperoleh:
$\frac{-\frac{2(2)}{2\sqrt{(2)^2+5}}}{1}=-\frac{2}{3}$
Jadi dapat kita simpulkan bahwa:

$\lim_{x \to 2}\frac{2-\sqrt{(x)^2+5}}{1}=-\frac{2}{3}$

Catatan:
1. Ingat, pastikan limit ini jika di substitusi langsung bentuknya 0/0
2. Jika turunan pertama masih menghasilkan 0/0, turunkan kembali sampai bentuknya bukan 0/0
3. Jika sudah berbentuk bukan 0/0 jangan dilanjutkan menurunkan, solusinya pasti salah

Semoga dapat dipahami dan bermanfaat
Salam
AnaLisis

Langganan: Postingan (Atom)